Sekilas Tentang Aljabar Boolean dan Untai Kombinatorial

Bismillah,

Untai digital adalah perangkat keras yang dapat memanipulasi informasi-informasi biner. Untai ini biasa diimplementasikan dengan transistor yang terdapat dalam chip IC. Setiap untai digital ini merupakan penyambungan dan kombinasi dari untai-untai digital primitif, yang biasa disebut gerbang logika.

Tentunya dalam proses pembuatan untai digital ini, dibutuhkan perancangan dan teknik manipulasi agar sirkuit digital dapat diproduksi dengan biaya minimal, tanpa cacat, efisien, dan sebagainya. Salah satu cara dari teknik-teknik ini adalah dengan membuat pernyataan dan manipulasi dari operasi-operasi dari suatu untai digital terlebih dahulu sebelum mengimplementasikannya ke dalam bentuk gerbang logika.

I. Aljabar Boolean

Untuk menyatakan operasi-operasi dari suatu untai digital, dibutuhkan aljabar Boolean yang menjelaskan operasi dari setiap gerbang logika sehingga dapat digunakan untuk menganalisa dan mendesain suatu untai digital. Aljabar Boolean yang merupakan varian dari struktur aljabar biasa ini, diprakarsai oleh George Boole pada tahun 1854 dalam bukunya yang berisi tentang teori logika matematika. Berbeda dengan struktur aljabar biasa, variabel-variabel dalam sistem aljabar Boolean hanya memiliki dua nilai kemungkinan : 0 dan 1. Hukum-hukum yang berlaku dalam aljabar Boolean pun seringkali tidak berlaku dalam aljabar biasa.

Aljabar Boolean memiliki 3 operasi logika dasar, yaitu :

  1. AND. Operasi ini dapat dianalogikan sebagai operasi perkalian dalam aljabar biasa. Operasi AND ditulis dengan sebuah titik atau juga dapat tidak ditulis dan dinyatakan hanya dengan penulisan 2 variabel tanpa penghubung operator. Sebagai contoh, pernyataan “Z = XY” atau “Z=X.Y” dibaca dengan “ Z sama dengan X AND Y”. Hasil operasi AND bernilai 1 jika dan hanya jika semua variabel yang akan dioperasikan bernilai 1. Selebihnya, hasil operasi bernilai 0.

  2. OR. Operasi ini dapat dianalogikan sebagai operasi penjumlahan dalam aljabar biasa. Operasi OR ditulis dengan sebuah tanda “+” di antara variabel yang akan dioperasikan. Sebagai contoh, pernyataan “Z = X + Y” dibaca dengan “ Z sama dengan X OR Y”. Hasil operasi OR bernilai 1 jika salah satu dari variabel yang akan dioperasikan bernilai 1. Jika semua variabel yang akan dijumlahkan bernilai 0, hasil OR akan memberikan nilai 0.

  3. NOT. Operasi NOT ditulis dengan menambahkan garis di atas variabel yang akan dioperasikan, ataupun dengan menambahkan tanda aksen setelah penulisan variabel. Sebagai contoh, Z = X’ dibaca dengan Z sama dengan NOT X. NOT X berarti nilai komplemen dari X, sehingga jika X = 0, Z =1 dan jika X = 1, Z = 0.

Kalimat matematika dalam aljabar Boolean dapat digunakan untuk menyatakan suatu fungsi dari untai kombinatorial. Sebagai contoh, sebuah persamaan Boolean yang merepresentasikan fungsi F :

F = X’ Y Z + X’ Y Z’ + XZ

dapat diimplementasikan dengan gerbang-gerbang logika seperti di bawah ini.

 

contoh rangkaian 2

Fungsi tersebut terlihat cukup kompleks, namun kita masih dapat menyederhanakannya. Kita dapat menyederhanakan suatu fungsi dengan memanipulasi persamaan Boolean tersebut. Untuk memanipulasi suatu persamaan Boolean, kita akan membutuhkan persamaan-persamaan identitas dan hukum-hukum dalam aljabar Boolean. Persamaan identitas dari aljabar Boolean tersebut adalah sebagai berikut.

  1. X + 0 = X

  2. X + 1 = 1

  3. X + X = X

  4. X + X’ = 1

  5. X” = X

  6. X . 1 = X

  7. X . 0 = 0

  8. X . X = X

  9. X . X’ = 0

10. X + Y = Y + X 14. XY = YX Sifat Komutatif
11. X + (Y + Z) = (X + Y) + Z 15. X(YZ) = (XY)Z Sifat Asosiatif
12. X (Y + Z) = XY + XZ 16. X + YZ = (X + Y) (X + Z) Sifat Distributif
13. (X + Y)’ = X’ . Y’ 17. (X’ . Y’) = X’ + Y’ Hukum DeMorgan

Dengan identitas-identitas ini, kita dapat menyederhanakan fungsi Boolean yang telah dicontohkan sebelumnya, yaitu:

F = X’ Y Z + X’ Y Z’ + XZ

= X’ Y (Z + Z’) + XZ (dengan identitas 12)

= X’ Y . 1 + XZ (dengan identitas 4)

= X’ Y + XZ (dengan identitas 6)

Dengan demikian, kita dapat menggantikan implementasi gerbang logika dari fungsi boolean tersebut dengan lebih sederhana tanpa mengubah fungsi logikanya,

II .Untai Kombinatorial

Untai Kombintorial merupakan rangkaian yang tersusun dari gerbang-gerbang logika dan terhubung sedemikian rupa sehingga membentuk fungsi logika tertentu dengan input m buah dan output n buah.

Suatu fungsi dari untai kombinatorial dapat dinyatakan dalam aljabar Boolean, dan penulisannya dapat dikerjakan dengan beragam cara. Namun, untuk mempermudah dalam mendesain dan menyederhanakan fungsi, terdapat beberapa aturan baku dalam penulisan fungsi Boolean.

Secara baku, ekspresi logika dapat dinyatakan dalam 2 bentuk, yakni Sum of Product (SOP) dan Product of Sum (POS). Bentuk SOP merupakan jumlah dari suku-suku perkalian, misalnya F = AB + B’ C + A’ B C’ . Sedangkan bentuk POS merupakan perkalian dari suku-suku penjumlahan, misalnya F = (A + B’ + C) . (A + B + C’) . (A’ + B’ + C).

Dapat dikatakan bahwa bentuk SOP merupakan penjumlahan dari minterm dan POS merupakan perkalian maxterm. Minterm dari suatu fungsi adalah ekspresi logika yang mengandung semua variabel dari suatu fungsi Boolean tersebut dan hanya memiliki operator AND dan NOT. Misalnya, (A B C) dan (A’ B’ C). Sedangkan maxterm dari suatu fungsi adalah ekspresi logika yang mengandung semua variabel dari suatu fungsi Boolean tersebut dan hanya memiliki operator OR dan NOT. Misalnya, (A + B + C) dan (A’ + B’ + C’).

Kita dapat membuat suatu fungsi Boolean dari sebuah tabel kebenaran ke dalam bentuk SOP maupun POS dengan mudah. Pertama-tama, kita siapkan sebuah tabel kebenaran suatu fungsi yang diinginkan. Selanjutnya, jika kita menginginkan fungsi dituliskan dalam bentuk minterm, jumlahkan semua minterm yang memiliki output fungsi bernilai 1 sehingga membentuk bentuk SOP. Apabila variabelnya bernilai 1, tuliskan nama variabel tersebut tanpa adanya perubahan. Namun, jika variabelnya bernilai 0, tuliskan nama variabel tersebut diikuti dengan tanda komplemen.

Apabila kita memnginginkan bentuk maxterm, kalikan semua minterm yang memiliki output bernilai 0. Kita mendapatkan ekspresi dari komplemen fungsi setelah melakukan hal ini. Untuk mendapatkan ekspresi fungsi, komplemenkan ekspresi tersebut sehingga akan didapatkan ekspresi fungsi dalam bentuk POS. Sebagai contoh, katakan kita akan membuat ekspresi fungsi dalam bentuk POS dari suatu rangkaian kombinatorial yang fungsinya ditunjukkan oleh tabel kebenaran berikut :

A B C z
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1

Dengan memperhatikan minterm yang memiliki output 0, kita dapat menuliskan :

Persamaan aljabar Boolean

Persamaan aljabar Boolean

Dan dengan mengkomplemenkan ekspresi tersebut dengan bantuan hukum DeMorgan, kita mendapatkan :

Wallahu a’lam, demikian sedikit penjelasan dari saya tentang aljabar Bool, semoga bermanfaat. Kalo ada yang salah, monggo dikomen..

4 Balasan ke Sekilas Tentang Aljabar Boolean dan Untai Kombinatorial

  1. suweca nata mengatakan:

    mas ,, saya sdikit kebingungan ..
    untuk fungsi biasa kan
    F = XY’Z + X’YZ’ + XZ
    tapi di proses pnyederhanaan’a koq jadi’a
    F = X’YZ + X’YZ’ + XZ
    kan berpngaruh hasil’a sama gerbang logika’a ..

    thanks mas …
    maap kalo ada ksalahan kata …
    saya juga baru blajar …
    :)

    • fahim007 mengatakan:

      maaf saya lagi jarang buka blog..oh iya itu sepertinya memang ada salah ketik, jadi fungsi awalnya F=X’YZ + X’YZ’ + XZ , kemudian disederhanakan menjadi F = X’ Y + XZ . Terima kasih sudah membaca tulisan saya :)

  2. chandra firdaus mengatakan:

    wah maksh mas, akhirnya nemu juga nih buat bahan laporan saya :)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: